このセクションでは、スペクトル残差の近似的な直交性について説明されています。スペクトル残差を使用してポートフォリオを構築する際、共分散行列の対角線近似を使用しています。この近似が妥当であるためには、Aresがほぼ対角行列になることを示す必要があります。なぜAresが近似的に対角行列になるのでしょうか？以下の理由が考えられます。
スペクトル残差の近似的な直交性:
スペクトル残差は、ポートフォリオのリスクを評価するために使用されます。スペクトル残差の近似的な直交性が成り立つことは、ポートフォリオの異なる資産間のリスクが相互に独立であるように見えることを示します。この性質は、ポートフォリオのリスク分散を効果的に評価するのに役立ちます。
スペクトル残差が近似的に直交する理由は、資産間の相関が低いか、特定の条件で近似的に低くなるためです。具体的な理由としては、ポートフォリオ内の資産が異なるリスクファクターに関連している場合や、ポートフォリオ内の資産間に特定の条件付き独立性がある場合が考えられます。
共分散行列の対角線近似:
共分散行列はポートフォリオ内の資産間の相互関係を示す行列です。共分散行列の対角線近似が妥当であるためには、ポートフォリオ内の資産間の相関が低いと仮定されることが一般的です。つまり、資産間の共分散が対角要素に比べて非常に小さいということです。
単純に非対角要素をゼロにすることを対角線近似と呼びます
この近似が妥当な場合、共分散行列を対角行列に近似することができます。対角行列は、異なる資産のリスクが互いに独立であると仮定することを意味します。この仮定に基づいて、ポートフォリオのリスクを評価するのに簡化された方法を使用できます。
- よく広がる要因：金融市場では、多くの株式リターンが一握りの共通市場要因によって説明されることがよくあります。市場要因は市場内のすべての株式にほぼ等しく影響を与えることがあります。たとえば、最初の主要ポートフォリオは、全体の市場の要因と見なすことができ、株式の「等加重指数」に近いかもしれません。この場合、市場要因を取り除いても、共分散行列の要素はほとんど変化しない可能性があります。
- スパイク型要因：特定の企業の株価が他の市場要因とは独立した要因の影響を受ける場合、その要因が特定の株式から生じる主要ポートフォリオが存在する可能性があります。この要因を取り除くことは、対応する株式を取り除くことと同等であり、共分散行列の非対角要素には影響を与えません。
これらの考え方を正確に表現するために、”Well-spreading factors”と”Spiked factors”という2つの概念が導入されています。これらの概念は、金融市場における共分散行列の対角線近似が妥当である理由を説明するのに役立ちます。
定義3では、ベクトルvが特定の条件を満たすかどうかを説明しています。vはS次元のベクトルで、単位ベクトル（ノルムが1であるベクトル）であると仮定されています。また、δは正の数で、特定の条件を定義するためのパラメータです。
- vがδ-拡散している場合：この場合、vの各要素（vi）はすべてのiに対して|vi| ≤ δ/Sとなります。つまり、vの要素は全体として均等に広がっており、各要素の絶対値がδ/S以下であることを意味します。
- vがδ-スパイクしている場合：この場合、vの中で特定の要素i∗（i∗は1からSの間の任意の整数）が存在し、その要素を除くすべての要素の絶対値が|vi| ≤ δ/Sとなります。つまり、vの要素の大部分は非常に小さく、特定の要素だけが大きいことを示します。
これらの特性は、vv⊤の対角線以外の要素が十分に小さいことを確保します。
与えられた文章の中で、命題3は線形因子モデルの文脈でスペクトル残差（Aresと表記）の特性について説明しています。以下に主要なポイントを日本語で説明します：
- 単位ベクトル v と Spreading/Spiked 条件: 命題3では、S次元の空間に存在する単位ベクトル v ∈ RS（ベクトルの要素数がS）が、ある正の値δに対してδ-スプレッディングまたはδ-スパイク状態にある可能性があると考えます。この文脈での「スプレッディング」と「スパイク」は、ベクトル v の振る舞いに関連する条件を指します。
- 行列 P の (i, j) 要素の制約: 命題3は、すべてのi ≠ j（iとjはインデックス）に対して、行列P = vv⊤の(i, j)要素が|Pij| = |vivj| ≤ δ/Sで制約されていることを示すことを目的としています。これは、行列P内の値がこの制約に従うことを意味します。
- εの等方性共分散: εというランダムベクトルが等方性共分散行列σ^2Iを持つと仮定されています。ここで、σ^2は定数であり、Iは単位行列です。
- マーケットファクターの固有値分解: マーケットファクターは行列BB⊤で表され、Vが直交行列でΛは対角行列で、Λの対角成分はλ1,…,λCおよび残りの成分はゼロです。
- スペクトル残差 Ares: Aresは[vC+1,…,vS][vC+1,…,vS]⊤ = I − Pmarとして定義され、ここでPmarはマーケットファクターの空間への射影行列です。
- スペクトル残差の共分散行列: 目標は、スペクトル残差の共分散行列σ^2Aresを理解することです。
- 共分散行列がほぼ対角行列になる条件: 命題は、特定の条件下でスペクトル残差の共分散行列σ^2Aresがほぼ対角行列になることを説明することを目指しています。これらの条件は、トップCの主要なポートフォリオが「well-spreading」または「nearly spiked」であるという関連が含まれています。
要するに、命題3は、線形因子モデルの文脈でスペクトル残差Aresの振る舞いを考察し、特定の条件下でAresの共分散行列がほぼ対角行列になることを説明しています。
